\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\title{AR39}
\author{Malvin Gattinger}
\date{}

\begin{document}

\newcommand{\so}{\rightarrow}
\newcommand{\bico}{\leftrightarrow}

\parindent0cm

\section*{AR39}

\begin{center}

$ \lnot ( p \bico q ) \dashv \vdash p \bico \lnot q $
\end{center}

$\vdash$ : \\
$\begin{array}{llll}
1    & ( 1) & \lnot ( p \bico q )     & A \\

\hline

2     & ( 2) & p                       & A $(für $\so I$)$ \\
3     & ( 3) & q                       & A $(für RAA)$ \\

3     & ( 4) & p \so q                 & 3 \so I (2) \\
2     & ( 5) & q \so p                 & 2 \so I (3) \\
2,3   & ( 6) & p \bico q               & ? 4,5 \bico I\\

1,2   & ( 7) & \lnot q                 & 1,6 RAA (3) \\
1     & ( 8) & p \so \lnot q           & 7 \so I (2) \\

\hline

9     & ( 9) & \lnot q                 & A $(für $\so I$)$ \\
10    & (10) & \lnot p                 & A $(für RAA)$ \\

11    & (11) & p                       & A \\
10,11 & (12) & q                       & 10,11 RAA (9) \\
10    & (13) & p \so q                 & 12 \so I (11) \\

14    & (14) & q                       & A \\
9,14  & (15) & p                       & 9,14 RAA (10) \\
9     & (16) & q \so p                 & 15 \so I (14) \\

9,10  & (17) & p \bico q               & 13,16 \bico I \\

1,9   & (18) & p                       & 1,17 RAA (10) \\

1     & (19) & \lnot q \so p           & 18 \so I (9) \\

\hline

1     & (20) & p \bico \lnot q         & 8,19 \bico I \\
\end{array}$

\bigskip

$\dashv$ : \\
$\begin{array}{llll}
1     & ( 1) & p \bico \lnot q        & A \\

2     & ( 2) & p \bico q              & A $ (für RAA) $ \\

2     & ( 3) & q \so p                & 2 \bico E \\
1     & ( 4) & p \so \lnot q          & 1 \bico E \\

5     & ( 5) & q                      & A $ (für RAA) $ \\
2,5   & ( 6) & p                      & 3,5 \so E \\
1,2,5 & ( 7) & \lnot q                & 4,6 \so E \\
1,2   & ( 8) & \lnot q                & 5,7 RAA (5) \\

1     & ( 9) & \lnot q \so p          & 1 \bico E \\
2     & (10) & p \so  q               & 2 \bico E \\

1,2   & (11) & p                      & 8,9 \so E \\
1,2   & (12) & q                      & 10,11 \so E \\

1     & (13) & \lnot ( p \bico q )    & 8,12 RAA (2) \\
\end{array}$

\end{document}